Minggu, 18 Januari 2009

Operasi-Operasi Himpunan

2.1.2 Operasi – Operasi Himpunan

Jenis operasi yang sering digunakan pada himpunan yaitu operasi irisan, gabungan, komplemen, selisih, Beda setangkup, dan perkalian.

a. Irisan

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan Himpunan B.

Notasi: A B = { x|x є A dan x є B }

Contoh:

Misalkan A = { ( x, y ) | ( x, y ) = ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 1, 1 ) } dan B = { ( x, y ) | ( x, y ) = ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 1 ) }

Maka A B = { ( x, y ) | ( x, y ) = ( 1, 1 ) }

b.Gabungan

Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi: A B = { x|x є A atau x є B }

Contoh:

Misalkan A = { x | 0 < x < 1 } dan B = { x | -1< x < 2 }.

Maka A B = { x | -1< x < 2 }

c. Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S yang bukan elemen A.

Notasi: Ac = {x|xєS, xєA }

Diagram venn untuk Ac ( daerah yang diarsir)




d.Selisih

Selisih dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B.

Notasi: A – B = { x|x є A danx є B }

Contoh:

Jika A = { 1, 2, …, 10 } dan B = { bilangan genap dari 1 – 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = Ø

e. Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A + B = (A B) – (A B) = (A –B) (B – A)

Contoh:

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka A + B = { 3, 4, 5, 6 }

f. Perkalian Kartesian

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua Dari himpunan B.

Notasi: A X B = {( a, b ) | a є A dan b є B }

Contoh:

Jika A = { 1, 2, 3} dan B { c, d } maka

A X B = { (1, a ), ( 1, b ), ( 2, a ), ( 2, b ), ( 3, a ), ( 3, b) }

· Sifat-sifat dalam Operasi himpunan

Operasi –operasi himpunan memenuhi beberapa sifat. Jika A, B, dan C merupakan himpunan bagian dari S, maka kita mempunyai beberapa sifat berikut:

1. hukum Assosiatif

2. hukum Komutatif

3. Hukum distributif

4. hukum de morgan'

himpunan

1. Kompetensi

· Memahami konsep himpunan dan operasi himpunan

2. Indikator

· Menentukan anggota himpunan dan menyusun himpunan sesuai semesta pembicaraan

· Mampu menentukan perpotongan dua himpunan atau lebih

· Mampu menentukan dua himpunan saling asing

· Mampu menentukan irisan antara dua himpunan

· Mampu menentukan gabungan antara dua himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf besar / KAPITAL seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.

Ada 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan

1. Enumerasi: dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh :

A = {a, i, u, e, o}

2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:

 P adalah himpunan bilangan bulat positif Z adalah himpunan bilangan bulat R adalah himpunan bilangan riil C adalah himpunan bilangan komplek

3. Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota. Contoh :

 A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}

4. Diagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.

Macam – macam himpunan

1.Himpunan berhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya bisa dihitung.

Contoh :
A = { bilangan prima kurang dari 10}
= {2, 3, 7, 11}


2.Himpunan tak berhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak bisa dihitung atau tidak terbatas.

Contoh :
B = { bilangan asli }
= {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Jumat, 02 Januari 2009

Macam - Macam Himpunan

Ada beberapa macam himpunan diantaranya:

a. Himpunan Kosong

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0. Notasinya Ø atau { }.

Contoh:

P = { x|x adalah akar-akar persamaan persamaan kuadrat x2 + 5x + 10 = 0 }, maka n(P) = 0

b.Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpuan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. dalam hal ini B dikatakan superset dari A. notasinya A B.

Contoh:

Misalkan A = { 1, 2, 3 } dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A B.

c. Himpunan yang Sama

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya. Notasinya A = B <—> A B.

Contoh:

Jika A = { a, b, c } dan B = { c, a, b } maka A = B

d.Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasinya A ~ B <—> n(A) = n(B)

Contoh:

Jika A = { 1, 2, 3,4 } dan B = { s, a, p, i } maka A ~ B sebab n(A) = n(B) = 4

e. Himpunan Saling Lepas

Dua buah himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi A // B.

Contoh:

Jika A = { x|x є P, x < b =" {">

f. Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagiian dari A, termasuk himpunan kosong dari A itu sendiri. Notasinya P(A) atau 2A.

Contoh:

Jika A = { 1, 2, }, maka P(A) = { { 1 },{ 2 }, { 1, 2, }, }